Edition du 3 octobre 2024.
Le programme scientifique sera constitué d'un mini-cours d'Adrien Laurent et de trois exposés de Cristina Benea, Dorian Le Peutrec et Julien Mathiaud.
Programme prévisionnel
Accueil
- 10h-11h Adrien Laurent (1/2)
- 11h05-11h45 Cristina Benea
Déjeuner
- 13h15-14h15 Adrien Laurent (2/2)
Pause
- 14h45-15h25 Julien Mathiaud
- 15h30-16h10 Dorian Le Peutrec
Titres et résumés
Adrien Laurent
Geometric numerical integration of (stochastic) differential equations with Hopf algebras
The flow of any regular evolutionary differential equation has a Taylor expansion that can naturally be described by an algebraic formalism of trees. First introduced by numerical analycits in the 60's, this algebraic approach is now also used, for instance, for the study of rough paths, singular SPDEs and Quantum Field Theory. In the first talk, we present the original use of Butcher trees for the creation of high-order methods for solving ODEs. We observe the central role of two Hopf algebra of trees in the creation and study of numerical methods. The second talk is devoted to the recent extension of these results for the creation of high-order methods for stochastic differential equations. In particular, we present a formalism of exotic forests and apply it for the creation of stochastic high-order integrators for solving a variety of stochastic dynamics.
This is joint work with Eugen Bronasco (University of Geneva), Hans Munthe-Kaas (Universitetet i Bergen), and Gilles Vilmart (University of Geneva).
Cristina Benea
Autour du bi-est oscillatoire
L'opérateur bi-est oscillatoire est un des rares exemples d'opérateur multilinéaire invariant par modulation et qui présente certaines caractéristiques de courbure, puisqu'il se compose de l'opérateur bi-est classique mais il comporte un facteur oscillatoire sous la forme d'une exponentielle complexe. Il s'agit d'un travail conjoint avec I. Oliveira, et qui s'appuie sur des travaux connexes avec F. Bernicot, V. Lie, M. Vitturi.
Julien Mathiaud
An asymptotic preserving kinetic scheme for the M1 model of linear transport
Moment models with suitable closure can lead to accurate and computationally efficient solvers for particle transport. Hence, we propose a new asymptotic preserving scheme for the M1 model of linear transport that works uniformly for any Knudsen number. Our idea is to apply the M1 closure at the numerical level to an existing asymptotic preserving scheme for the corresponding kinetic equation, namely the Unified Gas Kinetic scheme (UGKS) originally proposed by Xu and Huang extended to linear transport by Mieussens. In order to ensure the moments realizability in this new scheme, the UGKS positivity needs to be maintained. We propose a new density reconstruction in time to obtain this property. A second order extension is also suggested and validated. Several test cases show the performances of this new scheme.
This is joint work with Jean-Luc Feugeas (CELIA, Bordeaux), Luc Mieussens (IMB, Bordeaux) et Thomas Vigier (CELIA, Bordeaux)
Dorian Le Peutrec
Loi d'Eyring–Kramers pour des opérateurs différentiels de type Fokker-Planck
Résumé : Dans cet exposé, nous considérerons des opérateurs différentiels de type Fokker-Planck associés à des processus de Langevin généraux admettant une mesure invariante de la forme $ e^{-\frac{V}{h}} dx $, où $ h > 0 $. Sous des hypothèses assurant des estimées de résolvante adéquates, le bas du spectre de ces opérateurs satisfait dans le régime $h \to 0$ des formules dites d’Eyring-Kramers. Nous nous intéresserons à ces formules ainsi qu’aux liens entre le bas du spectre et le comportement en temps long du l’équation d’évolution associée. Notre approche est basé sur la construction de quasimodes « gaussiens » précis. (D’après un travail en collaboration avec Jean-François Bony et Laurent Michel)