PROGRAMME DU MERCREDI 5 NOVEMBRE (Amphi Lebesgue)
12h30 : Buffet sur place
14h-15h : Erwan Brugallé : Welschinger-Witt invariants
Quadratic enumerative geometry is a rapidly expanding field of research. Based on $A^1$-homotopy theory, it aims to generalize many enumerative problems and computations that are already known over the fields $\mathbb C$ and $\mathbb R$. It turns out that there also exists an alternative method to produce quadratic invariants out of complex and real invariants. It is a quite formal recipe based on Witt invariants rather than $A^1$-homotopy and geometry. As such, this latter quadratic invariants may be thought as « virtual » enumerative invariants. In turns out that in several cases, these virtual enumerative invariants recover (and extend) the geometric A^1-homotopic enumerative invariants. I will illustrate this phenomenon with the classical problem of enumerating rational curves in the projective plane, and if time permit in any rational surfaces. This is a joint work with Johannes Rau and Kirsten Wickelgren.
15h15-16h15 : Samuel Lerbet I : Classe de cycle entière pour les variétés algébriques réelles et applications.
Construire une classe de cycle à valeurs dans la cohomologie singulière entière du lieu réel d'une variété algébrique réelle est délicat : contrairement au cas complexe, on ne dispose pas de classe fondamentale pour les sous-variétés en raison du défaut d'orientation des lieux réels. Le but des exposés est de présenter une construction de classe de cycle réelle entière pour les cycles quadratiquement orientés, un raffinement bilinéaire symétrique des cycles algébriques classiques. Cette classe de cycle en main, il est naturel de se demander à quel point la cohomologie singulière entière du lieu réel est algébrique, c'est-à-dire, dans l'esprit de la conjecture de Hodge entière, d'estimer la taille du sous-groupe des classes en cohomologie qui proviennent de cycles orientés : nous formulerons une conjecture précise dans cette direction. Enfin, la classe de cycle entière permet d'étudier des invariants plus fins que ceux qu'on pouvait contrôler précédemment, par exemple des classes caractéristiques de fibrés vectoriels comme la classe d'Euler. Si le temps le permet, nous expliquerons un travail en commun avec A. Asok et J. Fasel sur le problème de scindage pour les fibrés vectoriels de petit corang sur les variétés réelles affines lisses.
16h45-17h45 : Aurore Boitrel : Automorphism groups of real rational Del Pezzo surfaces of degree 4
Del Pezzo surfaces and their automorphism groups play a key role in the classification up to conjugacy of subgroups of the Cremona group of the plane. Over an algebraically closed field, they are completely classified together with their automorphism groups. In this talk, we will focus on real rational Del Pezzo surfaces of degree 4. Unlike larger degrees, the degree 4 case involves an infinite moduli space of surfaces, already over the complex numbers. We will explain how studying the action of the Galois group on the conic bundle structures enables us to give a complete description of their automorphism groups by generators in terms of automorphisms and birational automorphisms.
PROGRAMME DU JEUDI 6 NOVEMBRE (Amphi Lebesgue le matin, salle 16 l'après-midi)
9h15-10h15 : Felipe Espreafico Guerlerman : On Motivic and Arithmetic Donaldson-Thomas invariants
Aiming to understand the relation to other "refined invariants", we explain how to obtain a quadratic, $A^1$-version of Donaldson-Thomas invariants from the motivic refinements first introduced in Kontsevich-Soibelman. Following ideas from Behrend, Bryan and Szendroi, we provide predictions for these invariants in a few simple examples, mainly the computation of DT invariants of $A^3$. Over the real numbers, we recover invariants that were already considered in Physics by Krefl and Walcher. We also discuss, during the construction, refinements of the Euler characteristic of the Milnor Fibre for critical loci and the so-called Behrend functions. Our main goal is to draw relationships with the literature, including works of Levine, Denef and Loser, Azouri, Pepin-Lehaulleur, Srinivas, Comte and Fichou, among others. We end by posing some further questions on possible extensions of our definitions. This is joint work with Johannes Walcher. We also comment on joint work in progress with Ran Azouri.
10h45-11h45 : Samuel Lerbet II : Classe de cycle entière pour les variétés algébriques réelles et applications.
Repas à la biocoop
14h30-15h30 : Andrea Fanelli : Une question sur le lieu réel des variétés de Fano lisses de dimension trois
Les variétés de Fano complexes lisses de dimension trois ont été classifiées par Iskovskikh et Mori-Mukai, et leur description est bien comprise et relativement explicite. Dans ce contexte, il est naturel d’étudier la géométrie des variétés de Fano réelles lisses de dimension trois, et d’examiner les liens entre leurs propriétés algébriques (comme la rationalité) et les propriétés topologiques de leurs lieux réels. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Frédéric Mangolte, dans lequel nous étudions la connexité du lieu réel des variétés de Fano lisses de dimension trois.
16h-17h : Enzo Pasquereau : Combinatorial patchworking in codimension 2 and more
Combinatorial patchworking is a powerful method used for constructing real algebraic hypersurfaces with controlled topology. I will discuss generalization of this method to higher codimension using real phase structure. In codimension 2, we give explicit patchworking rules (based on triangulations, sign distributions, and edge orientations) similar to Viro's original formulation for hypersurface. As an application, we obtain families of maximal T-curves in real projective 3-space. For higher codimension, we derive new bounds on the number of connected components and prove non-existence of maximal T-curves (for codimension >3) and of high codimension T-surfaces.
PROGRAMME DU VENDREDI 7 NOVEMBRE (amphi Lebesgue)
9h15-10h15 : Marie-Françoise Roy : Nombre d'enroulement algébrique
Il y a de nombreuses preuves du théorème fondamental de l'algèbre mais jusqu'à récemment, la seule preuve algébrique était celle de Laplace de 1790. Michael Eisermann en a proposé en 2012 une preuve basée sur un résultat fondateur de la géométrie algébrique réelle, le théorème de Sturm et ses variantes: le nombre d'enroulement se calcule ainsi par une méthode algébrique qui fonctionne pour tout corps réel clos. Un raffinement de la méthode d'Eisermann permet même de compter les racines complexes dans un rectangle si elles sont sur un côté ou en un sommet, ce qui est interdit par les méthodes analytiques. De plus il est possible, si on utilise des sous-résultants pour calculer les restes successifs, de comparer la preuve de Laplace et la preuve par le nombre d'enroulement algébrique d'un point de vue quantitatif et la preuve par le nombre d'enroulement algébrique est nettement meilleure.
10h45-11h45 : Samuel Lerbet III : Classe de cycle entière pour les variétés algébriques réelles et applications.
Repas à la biocoop
14h-15h : Enrico Savi: Le théorème de Nash-Tognoli sur $\mathbb Q$ & sa version pour les singularités isolées
Pendant cette exposé je vais discuterai des différentes approches possibles afin de répondre à la question suivante : Problème de $\mathbb{Q}$-algébricité : (Parusiński, 2021) Tout ensemble algébrique $X\subset\mathbb{R}^n$ est-il homéomorphe à un ensemble $\mathbb{Q}$-algébrique $X'\subset\mathbb{R}^m$, avec $m\geq n$ ?
Après avoir motivé notre choix de méthodes, en soulignant leurs liens profonds avec les avancées récentes en géométrie algébrique sur les sous-champs développés par Fernando et Ghiloni, je présenterai nos réponses positives au problème de $\mathbb{Q}$-algébricité. Notre premier résultat principal est une version du thorme de Nash-Tognoli sur $\mathbb{Q}$, que nous pouvons résumer comme suit : ``Toute variété compacte et lisse admet un modèle $\mathbb{Q}$-algébrique". En tant qu'application de la résolution des singularités, d'une version relative du théorème de Nash-Tognoli sur $\mathbb{Q}$ et des techniques de blowing-down, nous apportons une réponse positive complète au problème de $\mathbb{Q}$-algébricité dans le cas des ensembles algébriques réels avec des singularités isolées. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.